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1997 年考研数学（一）第 10 题

选择题 · 3 分

设两个相互独立的随机变量

X

和

Y

的方差分别为

4

和

2

，则随机变量

3 X - 2 Y

的方差是（　　）

A $8$ .
B $16$ .
C $28$ .
D $44$ .

提示 1

方差不是线性的：系数要先平方再乘方差，回忆

D (a X + bY)

的展开式。

提示 2

X, Y

相互独立意味着协方差为零，交叉项可直接去掉。

提示 3

注意

- 2 Y

的系数平方后是

+ 4

，负号不影响方差。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

关键是方差对线性组合的公式

D (a X + bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) + 2 ab Cov (X, Y)

，独立时末项为零。常见错误是忘记系数平方或被负号迷惑，只要按

3^{2} D (X) + (- 2)^{2} D (Y)

代入即可。

解答

分析：利用方差性质

D (a X + bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) + 2 ab Cov (X, Y)

；

X, Y

独立时

Cov (X, Y) = 0

。

计算：

D (3 X - 2 Y) = 3^{2} D (X) + (- 2)^{2} D (Y) = 9 \times 4 + 4 \times 2 = 36 + 8 = 44.

应选 D。

考点：方差

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