1997 年考研数学（一） 第 11 题

出现「绕轴旋转」先写旋转面：$y^2=2z\to x^2+y^2=2z$。因为被积函数 $x^2+y^2$ 和区域都绕 $z$ 轴对称，最省事的是截面法——固定 $z$ 得圆盘，圆盘上再用极坐标把 $x^2+y^2$ 化为 $r^2$，最后只剩对 $z$ 的一元积分。

分析：先求旋转面方程，再用“先二后一”（截面法）配合极坐标计算三重积分。

旋转面：$yOz$ 平面上抛物线 $y^2=2z$ 绕 $z$ 轴旋转，把 $y^2$ 换成 $x^2+y^2$，得旋转抛物面 $x^2+y^2=2z$。它与平面 $z=8$ 围成
$$\Omega =\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 2z,0\le z\le 8\}.$$

计算：对固定的 $z$，截面为圆盘 $D_z:x^2+y^2\le 2z$，用极坐标
$$I={\int }_0^{8}dz{\iint }_{D_z}(x^2+y^2)dxdy={\int }_0^{8}dz{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\sqrt{2z}}{r}^2\cdot rdr=2\pi {\int }_0^8\frac{(2z{)}^2}{4}dz.$$

于是
$$I=2\pi {\int }_0^8{z}^{2}dz=2\pi \cdot \frac{8^3}{3}=\frac{1024\pi }{3}.$$