1997 年考研数学（一） 第 12 题

空间曲线积分优先看旋度——本题旋度是常向量 $(0,0,2)$，斯托克斯把线积分变成「常向量点乘单位法向量再乘曲面面积」，极简。难点只在定向：俯视顺时针对应法向量朝下，点乘得负号，配合投影为单位圆盘的面积即可。若走参数化路线，则要小心 $t$ 的方向与积分限。

分析：$C$ 是圆柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $x-y+z=2$ 的交线（椭圆）。可直接参数化，也可用斯托克斯公式。

方法一（参数化）：由 $x^2+y^2=1$ 设 $x=\cos t$，$y=\sin t$，则 $z=2-x+y=2-\cos t+\sin t$。从 $z$ 轴正向往负向看为顺时针，对应 $t$ 从 $2\pi$ 减到 $0$。代入并整理被积表达式，得
$${\oint }_C={\int }_{2\pi }^0(3{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t-2\sin t-2\cos t)dt.$$

利用 ${\int }_0^{2\pi }\sin tdt={\int }_0^{2\pi }\cos tdt=0$、${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt={\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}tdt=\pi$，
$${\oint }_C=-{\int }_0^{2\pi }(3{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t)dt=-(3\pi -\pi )=-2\pi .$$

方法二（斯托克斯公式）：记 $P=z-y,Q=x-z,R=x-y$，其旋度
$$\nabla \times (P,Q,R)=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=(0,0,2).$$

取平面 $x-y+z=2$ 上以 $C$ 为界的块 $\Sigma$，按题设定向其单位法向量为 $\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,-1)$，故
$${\oint }_C={\iint }_{\Sigma }(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS=\frac{(0,0,2)\cdot (-1,1,-1)}{\sqrt{3}}{\iint }_{\Sigma }dS=-\frac{2}{\sqrt{3}}{S}_{\Sigma }.$$
而 $\Sigma$ 在 $xOy$ 面上投影为单位圆盘，$S_{\Sigma }=\sqrt{3}\pi$，所以 ${\oint }_C=-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}\pi =-2\pi$。