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1997 年考研数学（一）第 13 题

解答题 · 5 分

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为

N

，在

t = 0

时刻已掌握新技术的人数为

x_{0}

，在任意时刻

t

已掌握新技术的人数为

x (t)

（将

x (t)

视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数

k > 0

，求

x (t)

。

提示 1

先把文字翻译成方程：变化率

\frac{d x}{d t}

与「已掌握

x

」和「未掌握

N - x

」之积成正比。

提示 2

这是可分离变量方程，分离后左边

\frac{d x}{x ( N - x )}

需用部分分式拆开再积分。

提示 3

积分得到

ln \frac{x}{N - x}

形式后，用初值

x (0) = x_{0}

定常数，最后解出

x (t)

。

答案与详解

思路（为什么这么做）

「变化率与两个数量之积成正比」是 Logistic 模型的标志，直接写

\frac{d x}{d t} = k x (N - x)

。它可分离变量，关键技巧是把

\frac{1}{x ( N - x )}

拆成

\frac{1}{N} (\frac{1}{x} + \frac{1}{N - x})

才能积分；积完用初值定常数并解出显式的

x (t)

。

解答

建立方程：变化率

\frac{d x}{d t}

与已掌握人数

x

和未掌握人数

N - x

之积成正比，故

\frac{d x}{d t} = k x (N - x), x (0) = x_{0} .

这是可分离变量的一阶方程（Logistic 方程）。

分离变量并积分：

\frac{d x}{x ( N - x )} = k d t .

利用

\frac{1}{x ( N - x )} = \frac{1}{N} (\frac{1}{x} + \frac{1}{N - x})

积分得

\frac{1}{N} ln \frac{x}{N - x} = k t + C .

定常数：由

x (0) = x_{0}

得

C = \frac{1}{N} ln \frac{x _{0}}{N - x _{0}}

。代入并整理

\frac{x}{N - x} = \frac{x _{0}}{N - x _{0}} e^{N k t} .

解出

x (t)

：

x (t) = \frac{N x _{0} e ^{k N t}}{N - x _{0} + x _{0} e ^{k N t}} .

考点：一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）、微分方程的综合与应用

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