1997 年考研数学（一） 第 14 题

切平面是入口，用曲面法向量 $(2x,2y,-1)$ 一步写出。「$l\subset \pi$」一句含两条独立信息：方向平行于平面（方向向量·法向量 $=0$，解出 $a$）、有公共点（取 $l$ 上一点代入 $\pi$，解出 $b$）。把一句几何条件拆成「方向 + 位置」两个方程，是直线与平面关系题的通法。

求切平面：曲面 $z=x^2+y^2$ 即 $F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0$，其法向量 $\mathbf{n}=(2x,2y,-1)$。在点 $(1,-2,5)$ 处 $\mathbf{n}=(2,-4,-1)$，故切平面 $\pi$ 为
$$2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0,\text{即}2x-4y-z-5=0.$$

用“直线在平面上”定 $a$：直线 $l$ 的方向向量为两平面法向量之叉积
$$\mathbf{s}=(1,1,0)\times (1,a,-1)=(-1,1,a-1).$$
$l\subset \pi$ 要求 $\mathbf{s}\perp \mathbf{n}$：$\mathbf{n}\cdot \mathbf{s}=2\cdot (-1)-4\cdot 1-1\cdot (a-1)=-5-a=0$，得 $a=-5$。

用“直线上一点”定 $b$：$a=-5$ 时 $l:\{\begin{array}{l}x+y+b=0,\\ x-5y-z-3=0.\end{array}$ 取 $l$ 上一点（令 $x=0$）：$y=-b$，$z=-5y-3=5b-3$，即点 $(0,-b,5b-3)$。它应在 $\pi$ 上：
$$2\cdot 0-4\cdot (-b)-(5b-3)-5=0⟹-b-2=0⟹b=-2.$$

故 $a=-5,b=-2$。