1997 年考研数学（一） 第 15 题

题目把「偏微分方程」伪装起来，真正目标是求一元函数 $f$。算二阶偏导后，利用 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 让 $e^{2x}$ 自然浮现、$f^{\prime }$ 项相消，PDE 塌缩成 ODE $f^{\prime \prime }(u)-f(u)=0$。识别出这一步，剩下就是特征根 $r=\pm 1$ 写通解。

求一阶偏导：记 $u=e^x\sin y$。
$$\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(u)e^x\sin y,\frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }(u)e^x\cos y.$$

求二阶偏导：
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=f^{\prime \prime }(u)(e^x\sin y{)}^2+f^{\prime }(u)e^x\sin y,$$
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=f^{\prime \prime }(u)(e^x\cos y{)}^2-f^{\prime }(u)e^x\sin y.$$

相加：两式相加时 $f^{\prime }(u)$ 项恰好抵消，且 $(e^x\sin y{)}^2+(e^x\cos y{)}^2=e^{2x}$，得
$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=f^{\prime \prime }(u)e^{2x}.$$

得常微分方程并求解：代入原方程 $f^{\prime \prime }(u)e^{2x}=e^{2x}z=e^{2x}f(u)$，约去 $e^{2x}$ 得 $f^{\prime \prime }(u)-f(u)=0$。特征方程 $r^2-1=0$，$r=\pm 1$，故
$$f(u)=C_1{e}^u+C_2{e}^{-u}(C_1,C_2\text{ 为任意常数}).$$