1997 年考研数学（一） 第 16 题

核心障碍是参数 $x$ 藏在被积函数里，换元 $u=xt$ 把它提到积分号外，$\phi =\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f$ 就成了标准变限积分。$x\ne 0$ 用商法则求导；$x=0$ 是特殊点，必须回到导数定义并借助已知 $\frac{f(x)}{x}\to A$（洛必达）算出 ${\phi }^{\prime }(0)=\frac{A}{2}$。最后比较 ${\lim }_{x\to 0}{\phi }^{\prime }(x)$ 与 ${\phi }^{\prime }(0)$ 判连续。

预备：由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=A$ 及 $f$ 连续，知 $f(0)=0$，且 $f^{\prime }(0)=A$。

化简 $\phi$：当 $x\ne 0$ 时，令 $u=xt$（$du=xdt$）：
$$\phi (x)={\int }_0^{1}f(xt)dt=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(u)du;$$
当 $x=0$ 时 $\phi (0)={\int }_0^{1}f(0)dt=0$。即
$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(u)du,& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$$

求 ${\phi }^{\prime }(x)$（$x\ne 0$）：由商的求导法则及变限积分求导，
$${\phi }^{\prime }(x)=\frac{xf(x)-{\int }_0^{x}f(u)du}{x^2}.$$

求 ${\phi }^{\prime }(0)$：由导数定义
$${\phi }^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\phi (x)-\phi (0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}f(u)du}{x^2}\stackrel{\text{洛必达}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{2x}=\frac{A}{2}.$$
于是
$${\phi }^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{xf(x)-{\int }_0^{x}f(u)du}{x^2},& x\ne 0,\\ \frac{A}{2},& x=0.\end{array}$$

连续性：当 $x\to 0$ 时
$$\underset{x\to 0}{\lim }{\phi }^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x)}{x}-\frac{{\int }_0^{x}f(u)du}{x^2}\right]=A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}={\phi }^{\prime }(0),$$
故 ${\phi }^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续。