1997 年考研数学（一） 第 17 题

递推数列存在性几乎总用「单调有界准则」：均值不等式 $\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})\ge 1$ 给下界，作差 $a_{n+1}-a_n=\frac{1-a_n^2}{2a_n}\le 0$ 给递减。第二问的巧思是用 $a_{n+1}\ge 1$ 把 $\frac{a_n}{a_{n+1}}-1$ 放大为 $a_n-a_{n+1}$，后者是裂项级数（部分和 $=a_1-a_{n+1}$ 收敛），再用比较判别法收口。

（1）用单调有界准则。 由均值不等式，对 $n\ge 1$，
$$a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)\ge \sqrt{a_n\cdot \frac{1}{a_n}}=1,$$
故数列有下界 $a_n\ge 1$。

又
$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)-a_n=\frac{1-a_n^2}{2a_n}\le 0(a_n\ge 1),$$
故 $\{a_n\}$ 单调递减。单调递减且有下界，由单调有界准则知 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ 存在（极限为 $1$）。

（2）用比较判别法。 因 $\{a_n\}$ 递减且 $a_n\ge 1$，有 $\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\ge 0$，故这是正项级数，且
$$0\le \frac{a_n}{a_{n+1}}-1=\frac{a_n-a_{n+1}}{a_{n+1}}\le a_n-a_{n+1}(a_{n+1}\ge 1).$$

级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(a_n-a_{n+1})$ 的部分和
$$S_n=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\cdots +(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}=2-a_{n+1},$$
因 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{n+1}$ 存在，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ 存在，该级数收敛。

由比较判别法，$\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敛。