1997 年考研数学（一） 第 18 题

「标准正交基」这个词提示两步：先找基础解系，再正交单位化。维数公式 $n-r(B)=2$ 定下只要两个向量；三个解里必有相关，验证 ${\alpha }_3=2{\alpha }_1-3{\alpha }_2$ 即可剔除。剩下 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 做施密特正交化并单位化，正交化后可提取公因子以简化模长计算。

定解空间维数：$B$ 为 $5\times 4$ 矩阵，未知数个数 $n=4$，$r(B)=2$，故解空间维数为 $n-r(B)=4-2=2$，基础解系含 $2$ 个解向量。

选出基础解系：${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关，而 ${\mathbf{\alpha }}_3=2{\mathbf{\alpha }}_1-3{\mathbf{\alpha }}_2$（可直接验证），与前两者线性相关。故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 即为一个基础解系。

施密特正交化：取 ${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1=(1,1,2,3{)}^T$。由 $({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1)=5$，$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)=15$，
$${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1=(-1,1,4,-1{)}^T-\frac{1}{3}(1,1,2,3{)}^T=\frac{2}{3}(-2,1,5,-3{)}^T,$$
取其同方向向量 $(-2,1,5,-3{)}^T$。

单位化：$\Vert {\mathbf{\beta }}_1\Vert =\sqrt{1+1+4+9}=\sqrt{15}$，$\Vert (-2,1,5,-3{)}^T\Vert =\sqrt{4+1+25+9}=\sqrt{39}$。故 $Bx=0$ 的解空间的一个标准正交基为
$${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{15}}(1,1,2,3{)}^T,{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{39}}(-2,1,5,-3{)}^T.$$