1997 年考研数学（一） 第 19 题

第一问把「$\xi$ 是特征向量」直接代入 $A\xi =\lambda \xi$，逐分量比较即可解出参数。第二问是判对角化的标准套路：$n$ 阶矩阵可对角化 $⟺$ 每个特征值的几何重数等于代数重数。这里特征值全为 $-1$（三重），只需算 $r(-E-A)$ 得几何重数 $3-r$，与重数 $3$ 比较即可。

（Ⅰ） 设 $\mathbf{\xi }$ 对应特征值 $\lambda$，则 $A\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }$：
$$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 5& a& 3\\ -1& b& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ a+2\\ b+1\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right).$$

逐行比较得 $\{\begin{array}{l}-1=\lambda ,\\ a+2=\lambda ,\\ b+1=-\lambda ,\end{array}$ 解得 $\lambda =-1,a=-3,b=0$。即 $\mathbf{\xi }$ 所对应的特征值为 $\lambda =-1$。

（Ⅱ） 此时 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 5& -3& 3\\ -1& 0& -2\end{array}\right)$，其特征多项式
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 1& -2\\ -5& \lambda +3& -3\\ 1& 0& \lambda +2\end{array}\right|=(\lambda +1{)}^3,$$
故 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=-1$ 是三重特征值。

考察 $\lambda =-1$ 的特征子空间维数：
$$-E-A=\left(\begin{array}{ccc}-3& 1& -2\\ -5& 2& -3\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$
$r(-E-A)=2$，故属于 $\lambda =-1$ 的线性无关特征向量只有 $3-2=1$ 个，少于其重数 $3$。

因此 $A$ 不能相似于对角阵（不可对角化）。