1997 年考研数学（一） 第 20 题

行变换要立刻翻译成「左乘初等矩阵」：$B=E(i,j)A$。可逆性由 $|E(i,j)|=-1$ 立得。求 $A{B}^{-1}$ 时把 $B^{-1}=A^{-1}E(i,j{)}^{-1}$ 代入，$A$ 与 $A^{-1}$ 相消，再用对换矩阵自逆 $E(i,j{)}^{-1}=E(i,j)$，答案就是那张初等对换矩阵。

（1） 对换第 $i,j$ 两行相当于左乘初等对换矩阵 $E(i,j)$（由单位阵对换第 $i,j$ 行而得），即 $B=E(i,j)A$。而 $|E(i,j)|=-1$，$A$ 可逆故 $|A|\ne 0$，于是
$$|B|=|E(i,j)||A|=-|A|\ne 0,$$
所以 $B$ 可逆。

（2） 由 $B=E(i,j)A$ 得 $B^{-1}=A^{-1}E(i,j{)}^{-1}$。注意初等对换矩阵满足 $E(i,j{)}^{-1}=E(i,j)$（对换两次即还原）。故
$$A{B}^{-1}=A\cdot A^{-1}E(i,j{)}^{-1}=E(i,j{)}^{-1}=E(i,j).$$
即 $A{B}^{-1}$ 等于把单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行对换所得的初等矩阵 $E(i,j)$。