1997 年考研数学（一） 第 8 题

「周期函数在一个周期上的积分与起点无关」是核心：变限求导得 $F^{\prime }(x)=0$ 即证常数。要定符号，取对称区间 $[-\pi ,\pi ]$ 并用 $t\to -t$ 合并成 ${\int }_0^{\pi }(e^{\sin t}-e^{-\sin t})\sin tdt$，在 $[0,\pi ]$ 上 $\sin t\ge 0$ 使被积函数非负，故为正常数。

分析：被积函数 $e^{\sin t}\sin t$ 以 $2\pi$ 为周期，而积分区间长度恰为一个周期 $2\pi$，因此 $F(x)$ 与下限 $x$ 无关，是常数。

是常数：由变限积分求导，$F^{\prime }(x)=e^{\sin (x+2\pi )}\sin (x+2\pi )-e^{\sin x}\sin x=0$，故 $F(x)$ 为常数。取 $x=-\pi$ 计算：
$$F(x)={\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{\sin t}\sin tdt.$$

定号：把 $[-\pi ,0]$ 部分作换元 $t\to -t$ 与 $[0,\pi ]$ 合并，
$$F(x)={\int }_0^{\pi }\left(e^{\sin t}-e^{-\sin t}\right)\sin tdt.$$
当 $t\in [0,\pi ]$ 时 $\sin t\ge 0$，且 $e^{\sin t}-e^{-\sin t}\ge 0$，被积函数非负且不恒为零，故 $F(x)>0$。

所以 $F(x)$ 为正常数，应选 A。