1997 年考研数学（一） 第 7 题

三个量分别对应「真实面积、矩形下估、梯形上估」。把导数符号翻译成几何形状：$f^{\prime }<0$ 说明取右端最小值为高的矩形偏小；$f^{\prime \prime }>0$ 说明连端点的弦在曲线上方、梯形偏大。于是大小顺序 $S_2<S_1<S_3$ 一目了然，无需真正积分。

分析：$S_1$ 是曲边梯形面积，$S_2$ 是以 $f(b)$ 为高的矩形面积，$S_3$ 是以 $f(a),f(b)$ 为两底的直边梯形面积。用单调性和凹凸性比较。

$S_2<S_1$：因 $f^{\prime }(x)<0$，$f$ 单调减，故在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge f(b)$，于是 $S_1={\int }_a^{b}f(x)dx>{\int }_a^{b}f(b)dx=f(b)(b-a)=S_2$。

$S_1<S_3$：因 $f^{\prime \prime }(x)>0$，曲线是凹的（下凸），连接端点的弦在曲线上方，故曲边梯形面积小于直边梯形面积：$S_1<\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)=S_3$。

综上 $S_2<S_1<S_3$，应选 B。