1997 年考研数学（一） 第 6 题

这是「偏导存在不蕴含连续」的经典反例。判连续用多路径法：取 $y=kx$ 使比值随 $k$ 变，即证极限不存在、不连续。判偏导直接用定义，而沿坐标轴 $f(x,0)=f(0,y)=0$，差商恒为零故偏导存在。两个判断分开做，就能锁定「不连续但偏导存在」。

分析：分别考察 $(0,0)$ 处的连续性与偏导数是否存在。

连续性：沿直线 $y=x$ 趋于原点，$f=\frac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\frac{1}{2}$；沿 $y=-x$ 趋于原点，$f=\frac{-x^2}{2x^2}=-\frac{1}{2}$。两者不相等，故 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$ 不存在，$f$ 在 $(0,0)$ 不连续。

偏导数：由于 $f(x,0)\equiv 0$，故 $f_x(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{0}{x}=0$；同理 $f_y(0,0)=0$。可见两个偏导数都存在。

综上，$f$ 在 $(0,0)$ 处不连续但偏导数存在，应选 C。