1997 年考研数学（一）第 5 题

填空题 · 3 分

袋中有

50

个乒乓球，其中

20

个是黄球，

30

个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 ___.

提示 1

第二人的结果依赖第一人取走了什么，按第一人取黄/取白分情形——这正是全概率公式的场景。

提示 2

分别写出

P (第一人黄)

、

P (第一人白)

以及各自条件下第二人取黄的条件概率。

提示 3

加权求和后可与

\frac{20}{50}

对照：结果相同体现「抽签公平性」，可用来自查。

答案与详解

答案 $\frac{2}{5}$

思路（为什么这么做）

不放回抽样中后一次概率依赖前一次，天然用全概率公式按第一次结果分类。列出两条路径「第一次颜色的概率 × 相应条件概率」再相加即可。最终等于

\frac{20}{50}

并非巧合，而是抽签与顺序无关的公平性，能帮你验证计算无误。

解答

分析：用全概率公式，按第一人取到的颜色分类讨论。

求解：记

A_{1} = {

第一人取黄球

}

，

A_{2} = {

第一人取白球

}

，

B = {

第二人取黄球

}

。则

P (A_{1}) = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}, P (A_{2}) = \frac{3}{5}, P (B ∣ A_{1}) = \frac{19}{49}, P (B ∣ A_{2}) = \frac{20}{49} .

由全概率公式

P (B) = P (A_{1}) P (B ∣ A_{1}) + P (A_{2}) P (B ∣ A_{2}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{19}{49} + \frac{3}{5} \cdot \frac{20}{49} = \frac{38 + 60}{245} = \frac{98}{245} = \frac{2}{5} .

这与第一人取黄球的概率相同，体现了抽签的公平性。

1997 年考研数学（一） 第 5 题