1997 年考研数学（一） 第 4 题

题目给的是矩阵方程，核心信号是「$B\ne O$ 却被 $A$ 乘成零」，说明 $Ax=0$ 有非零解，$A$ 必降秩、行列式为零。于是把抽象条件翻译成 $|A|=0$，再解关于 $t$ 的一元方程。

分析：$AB=O$ 且 $B\ne O$，说明齐次方程组 $AX=0$ 有非零解（$B$ 的非零列即为解），故 $A$ 不可逆，$|A|=0$。

方法一（行列式）：
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 4& t& 3\\ 3& -1& 1\end{array}\right|=7t+21.$$
令 $|A|=0$，得 $7t+21=0$，即 $t=-3$。

方法二（秩）：由 $AB=O$ 知 $r(A)+r(B)\le 3$；又 $B\ne O$ 故 $r(B)\ge 1$，于是 $r(A)\le 2<3$，$A$ 降秩，$|A|=0$，同样解得 $t=-3$。