1997 年考研数学（一） 第 3 题

直角坐标切线需要「切点 + 斜率」，而极坐标下二者都不直观。把 $\rho =e^{\theta }$ 写成参数方程后，切点由代入 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 得到，斜率由参数求导公式得到，题目就转化为熟悉的参数方程切线问题。

分析：把极坐标曲线化为参数方程 $x=\rho \cos \theta =e^{\theta }\cos \theta$，$y=\rho \sin \theta =e^{\theta }\sin \theta$，再用参数方程求切线斜率。

切点与斜率：当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，$x=e^{\frac{\pi }{2}}\cos \frac{\pi }{2}=0$，$y=e^{\frac{\pi }{2}}\sin \frac{\pi }{2}=e^{\frac{\pi }{2}}$，即切点为 $\left(0,e^{\frac{\pi }{2}}\right)$。又
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta }{dx/d\theta }=\frac{e^{\theta }(\sin \theta +\cos \theta )}{e^{\theta }(\cos \theta -\sin \theta )}=\frac{\cos \theta +\sin \theta }{\cos \theta -\sin \theta }.$$

在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 处，$\frac{dy}{dx}=\frac{0+1}{0-1}=-1$。故切线方程为 $y-e^{\frac{\pi }{2}}=-(x-0)$，即 $y=-x+e^{\frac{\pi }{2}}$。