1997 年考研数学（一） 第 2 题

关键认识是「收敛半径只由系数增长速度决定」，逐项求导（$n{a}_n$）或乘以 $(x-1{)}^2$ 都不改变半径。于是问题化为：把幂级数的中心从 $0$ 平移到 $1$、半径保持不变，写出 $|x-1|<R$ 再解出区间即可。

分析：幂级数逐项求导（或乘、除以幂）不改变收敛半径，$\sum n{a}_n{x}^{n-1}$ 与 $\sum a_n{x}^n$ 有相同的收敛半径。

求解：级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^{n+1}=(x-1{)}^2\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^{n-1}$，其收敛半径与 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 相同，即 $R=3$。

于是收敛范围由 $|x-1|<3$ 给出，即 $-3<x-1<3$，$-2<x<4$。故所求收敛区间为 $(-2,4)$。