1997 年考研数学（一） 第 1 题

看到多因子相乘相加的极限，先分离出「有非零极限的因子」降低复杂度，再用等价无穷小把 $\sin ,\ln$ 换成一次项。唯一的迷惑点是 $\cos \frac{1}{x}$ 的振荡，但它有界、又配上高阶的 $x^2$，用「有界量乘无穷小仍为无穷小」即可，不必纠结其极限是否存在。

分析：分母 $(1+\cos x)\ln (1+x)$ 中 $1+\cos x\to 2$，$\ln (1+x)\sim x$；分子里 $\sin x\sim x$，而 $x^2\cos \frac{1}{x}$ 是比 $x$ 高阶的无穷小。

求解：利用 $1+\cos x\to 2$、$\ln (1+x)\sim x$，
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin x+x^2\cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x)\ln (1+x)}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin x+x^2\cos \frac{1}{x}}{\ln (1+x)}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin x+x^2\cos \frac{1}{x}}{x}.$$

再拆项：
$$=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\left(3\cdot \frac{\sin x}{x}+x\cos \frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}(3\cdot 1+0)=\frac{3}{2}.$$
其中 $x\cos \frac{1}{x}\to 0$（有界量乘无穷小）。故填 $\frac{3}{2}$。