1995 年考研数学（一） 第 19 题

这类『正交矩阵求 $|\mathbf{A}+\mathbf{E}|$』的经典技巧是制造自等式。先由 $|\mathbf{A}{|}^2=1$ 且 $|\mathbf{A}|<0$ 得 $|\mathbf{A}|=-1$；再把 $\mathbf{E}$ 替换成 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 提出 $\mathbf{A}$，得到 $|\mathbf{A}+\mathbf{E}|=|\mathbf{A}||\mathbf{E}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|=-|\mathbf{A}+\mathbf{E}|$，于是它只能为零。核心动机是『用 $\mathbf{E}=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 制造公因子、把 $|\mathbf{A}|=-1$ 引进来』。

分析：先由 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{E}$ 定出 $|\mathbf{A}|=-1$，再把式中的 $\mathbf{E}$ 换成 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 以提取公因子。

由 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{E}$ 两边取行列式：$|\mathbf{A}||{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|=1$，即 $|\mathbf{A}{|}^2=1$；又 $|\mathbf{A}|<0$，故 $|\mathbf{A}|=-1$。

于是
$$|\mathbf{A}+\mathbf{E}|=|\mathbf{A}+\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|=|\mathbf{A}(\mathbf{E}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})|=|\mathbf{A}||(\mathbf{E}+\mathbf{A}{)}^{\mathrm{T}}|=-|\mathbf{E}+\mathbf{A}|.$$

即 $|\mathbf{A}+\mathbf{E}|=-|\mathbf{A}+\mathbf{E}|$，故
$$|\mathbf{A}+\mathbf{E}|=0.$$