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1995 年考研数学（一）第 20 题

填空题 · 3 分

设

X

表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的命中率为

0.4

，则

X^{2}

的数学期望

E (X^{2}) =

___.

提示 1

先辨认

X

服从什么分布——『

10

次独立重复、命中率

0.4

、计命中次数』是典型信号。

提示 2

直接算

E (X^{2})

较繁，回忆它与方差、期望的关系

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

。

提示 3

二项分布的

E (X) = n p

、

D (X) = n p (1 - p)

都有现成公式，代入即可。

答案与详解

答案 $18.4$

思路（为什么这么做）

『独立重复 + 固定命中率 + 计次数』是二项分布

B (n, p)

的标准描述。求

E (X^{2})

不必动用分布列，用恒等式

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

把它拆成期望与方差，二者对二项分布都有公式

n p

与

n p (1 - p)

，代入立得。

解答

分析：

X

服从二项分布

B (10, 0.4)

，利用

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

求解。

X \sim B (10, 0.4)

，则

E (X) = n p = 10 \times 0.4 = 4

，

D (X) = n p (1 - p) = 10 \times 0.4 \times 0.6 = 2.4

。

故

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2} = 2.4 + 4^{2} = 2.4 + 16 = 18.4.

考点：方差、数学期望、常见离散分布（二项、泊松、几何等）

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