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1995 年考研数学（一）第 21 题

填空题 · 3 分

设

X

和

Y

为两个随机变量，且

P {X \geq 0, Y \geq 0} = \frac{3}{7}

，

P {X \geq 0} = P {Y \geq 0} = \frac{4}{7}

，则

P {max (X, Y) \geq 0} =

___.

提示 1

把事件

{max (X, Y) \geq 0}

翻译成关于

{X \geq 0}

与

{Y \geq 0}

的集合运算——是交还是并？

提示 2

max (X, Y) \geq 0

只要

X, Y

中至少有一个

\geq 0

，即两事件的并集。

提示 3

用概率加法公式

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)

，题中数据恰好都给了。

答案与详解

答案 $\frac{5}{7}$

思路（为什么这么做）

关键一步是把

{max (X, Y) \geq 0}

识别为并事件

{X \geq 0} \cup {Y \geq 0}

（『最大值非负』等价于『至少一个非负』）。一旦翻译成并集，剩下就是套加法公式，

P (A), P (B), P (A B)

题目全给了，直接代入。难点只在事件的等价转化。

解答

分析：注意

{max (X, Y) \geq 0} = {X \geq 0} \cup {Y \geq 0}

，用概率加法公式即可。

记

A = {X \geq 0}, B = {Y \geq 0}

，则

{max (X, Y) \geq 0} = A \cup B

，且

P (A) = P (B) = \frac{4}{7}

，

P (A B) = P {X \geq 0, Y \geq 0} = \frac{3}{7}

。

由加法公式

P {max (X, Y) \geq 0} = P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) = \frac{4}{7} + \frac{4}{7} - \frac{3}{7} = \frac{5}{7} .

考点：概率的定义与性质

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