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1995 年考研数学（一）第 22 题

解答题 · 6 分

设随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = {e^{- x}, 0, x \geq 0, x < 0,

求随机变量

Y = e^{X}

的概率密度

f_{Y} (y)

.

提示 1

求单调变换后的密度，标准做法是先求

Y

的分布函数

F_{Y} (y) = P {e^{X} \leq y}

，再求导。

提示 2

注意

X \geq 0

意味着

Y = e^{X} \geq 1

，故

y < 1

时

F_{Y} (y) = 0

，要分段讨论。

提示 3

当

y \geq 1

时把

{e^{X} \leq y}

化为

{X \leq ln y}

，用

X

的密度积出

F_{Y}

再对

y

求导。

答案与详解

思路（为什么这么做）

求随机变量函数的分布，最稳的是分布函数法：先写

F_{Y} (y) = P {e^{X} \leq y}

。这里要特别注意值域——

X \geq 0

使

Y \geq 1

，故必须按

y < 1

与

y \geq 1

分段。在有效段把不等式解成

X \leq ln y

，套

X

的分布积分再求导，即得

f_{Y}

。分布函数法能自然处理值域限制，最不易错。

解答

分析：用分布函数法。先求

Y = e^{X}

的分布函数

F_{Y} (y)

，再求导得密度。注意

X \geq 0 \Rightarrow Y = e^{X} \geq 1

。

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {e^{X} \leq y}

。当

y < 1

时，

{e^{X} \leq y}

为不可能事件（因

e^{X} \geq 1

），故

F_{Y} (y) = 0

。

当

y \geq 1

时，

F_{Y} (y) = P {X \leq ln y} = \int_{0}^{l n y} e^{- x} d x = - e^{- x}_{0}^{l n y} = 1 - \frac{1}{y} .

对

y

求导得

Y = e^{X}

的概率密度

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{y ^{2}}, 0, y \geq 1, y < 1.

考点：随机变量函数的分布、连续型随机变量及其概率密度

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