1995 年考研数学（一） 第 18 题

只给一个特征向量却要还原整个 $\mathbf{A}$，突破口是『实对称 $\Rightarrow$ 不同特征值的特征向量正交』：$\lambda =1$ 的特征子空间正是 ${\mathbf{\xi }}_1$ 的正交补 $x_2+x_3=0$，取两个无关解补齐。凑齐后按谱分解 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\Lambda {\mathbf{P}}^{-1}$ 反算即可，本质是把『对角化』倒过来用。

分析：实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交。由此求出 ${\lambda }_2={\lambda }_3=1$ 的特征向量，再用 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\Lambda {\mathbf{P}}^{-1}$ 还原 $\mathbf{A}$。

设 $\lambda =1$ 对应的特征向量 $\mathbf{\xi }=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$。因实对称矩阵中它与 ${\mathbf{\xi }}_1$ 正交：${\mathbf{\xi }}_1^{\mathrm{T}}\mathbf{\xi }=x_2+x_3=0$。取两个线性无关解
$${\mathbf{\xi }}_2=(1,0,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_3=(0,1,-1{)}^{\mathrm{T}}.$$

令 $\mathbf{P}=({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$，则 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

于是
$$\mathbf{A}=\mathbf{P}\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right){\mathbf{P}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right).$$