1995 年考研数学（一） 第 17 题

第(1)问用反证 + 罗尔：假设 $g$ 内部有零点，则 $g$ 有三个零点，两次罗尔逼出 $g^{\prime \prime }$ 的零点，与 $g^{\prime \prime }\ne 0$ 矛盾。第(2)问的信号是『要证某点的导数关系』，把目标式整理成 $f{g}^{\prime \prime }-f^{\prime \prime }g=0$，反推它正是 $\phi =f{g}^{\prime }-f^{\prime }g$ 的导数，且 $\phi$ 两端点为零，罗尔定理立即给出 $\xi$。构造辅助函数的诀窍是从目标式反向凑原函数。

分析：(1) 用反证法结合罗尔定理；(2) 构造辅助函数 $\phi (x)=f(x)g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)g(x)$，对其用罗尔定理。

(1) 反证。设有 $c\in (a,b)$ 使 $g(c)=0$。由 $g(a)=g(c)=0$ 及罗尔定理，存在 ${\xi }_1\in (a,c)$ 使 $g^{\prime }({\xi }_1)=0$；由 $g(c)=g(b)=0$，存在 ${\xi }_2\in (c,b)$ 使 $g^{\prime }({\xi }_2)=0$。再对 $g^{\prime }$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 用罗尔定理，存在 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (a,b)$ 使 $g^{\prime \prime }(\xi )=0$，与 $g^{\prime \prime }(x)\ne 0$ 矛盾。故在 $(a,b)$ 内 $g(x)\ne 0$。

(2) 令 $\phi (x)=f(x)g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)g(x)$。由 $f(a)=g(a)=0$ 得 $\phi (a)=0$，同理 $\phi (b)=0$。$\phi$ 在 $[a,b]$ 上可导，由罗尔定理存在 $\xi \in (a,b)$ 使 ${\phi }^{\prime }(\xi )=0$。而
$${\phi }^{\prime }(x)=f(x)g^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(x)g(x),$$
故 $f(\xi )g^{\prime \prime }(\xi )-f^{\prime \prime }(\xi )g(\xi )=0$。

由 (1) 知 $g(\xi )\ne 0$，又 $g^{\prime \prime }(\xi )\ne 0$，两边除以 $g(\xi )g^{\prime \prime }(\xi )$ 得
$$\frac{f(\xi )}{g(\xi )}=\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{g^{\prime \prime }(\xi )},\xi \in (a,b).$$