1995 年考研数学（一） 第 16 题

两个条件各司其职：路径无关 $\iff Q_x=(2xy{)}_y=2x$，积分后得 $Q=x^2+\phi (y)$，把二元问题降为求一元函数 $\phi$；再利用等式——既然与路径无关，就挑最省事的折线算出两边关于 $t$ 的表达式，两边对 $t$ 求导即可解出 $\phi$。

分析：先由与路径无关的条件 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (2xy)}{\partial y}$ 确定 $Q$ 的形式（含一个待定的一元函数），再用给定的等式定出待定函数。

与路径无关 $\Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (2xy)}{\partial y}=2x$，对 $x$ 积分得
$$Q(x,y)=x^2+\phi (y),$$
其中 $\phi$ 为待定的一元函数。

取折线路径计算两端。左端 $(0,0)\to (t,1)$：沿 $x$ 轴 $(0,0)\to (t,0)$（$y=0$）再竖直 $(t,0)\to (t,1)$（$x=t$）：
$${\int }_0^{t}0dx+{\int }_0^1[t^2+\phi (y)]dy=t^2+{\int }_0^1\phi (y)dy.$$

右端 $(0,0)\to (1,t)$：沿 $x$ 轴 $(0,0)\to (1,0)$ 再竖直 $(1,0)\to (1,t)$（$x=1$）：
$${\int }_0^{1}0dx+{\int }_0^t[1+\phi (y)]dy=t+{\int }_0^t\phi (y)dy.$$

由两端相等 $t^2+{\int }_0^1\phi (y)dy=t+{\int }_0^t\phi (y)dy$，两边对 $t$ 求导得 $2t=1+\phi (t)$，即 $\phi (t)=2t-1$。故
$$Q(x,y)=x^2+2y-1.$$