1995 年考研数学（一） 第 15 题

几何条件题的通法是『把几何量翻译成 $x,y,y^{\prime }$ 的方程』。写出切线、求出 $y$ 轴交点 $A$，再把 $|\overline{MA}|=|\overline{OA}|$ 平方消去根号与绝对值，得到方程；看到 $2y{y}^{\prime }$ 就想到令 $z=y^2$ 把它线性化，套一阶线性通解公式，最后用过定点条件定常数。

分析：设曲线上点 $M(x,y)$，写出切线方程求其与 $y$ 轴的交点 $A$，由 $|\overline{MA}|=|\overline{OA}|$ 建立微分方程，再作代换 $z=y^2$ 化为一阶线性方程求解。

设 $M(x,y)$，过 $M$ 的切线为 $Y-y=y^{\prime }(X-x)$。令 $X=0$ 得 $Y=y-x{y}^{\prime }$，即交点 $A(0,y-x{y}^{\prime })$。

$|\overline{MA}|=\sqrt{(x-0{)}^2+(x{y}^{\prime }{)}^2}=x\sqrt{1+y^{\prime 2}}$，$|\overline{OA}|=|y-x{y}^{\prime }|$。由 $|\overline{MA}|=|\overline{OA}|$：
$$|y-x{y}^{\prime }|=\sqrt{x^2+(x{y}^{\prime }{)}^2},$$
两边平方化简得
$$2xy{y}^{\prime }-y^2+x^2=0.$$

令 $z=y^2$，则 $z^{\prime }=2y{y}^{\prime }$，方程化为一阶线性方程
$$\frac{dz}{dx}-\frac{z}{x}=-x.$$
解得
$$z=e^{\int \frac{1}{x}dx}\left(-\int x{e}^{-\int \frac{1}{x}dx}dx+C\right)=x(-x+C),$$
即 $y^2=-x^2+Cx$。

曲线在第一象限，$y>0$，故 $y=\sqrt{Cx-x^2}$。代入 $y\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}$ 得 $C=3$。所以 $L$ 的方程为
$$y=\sqrt{3x-x^2}(0<x<3).$$