1995 年考研数学（一） 第 14 题

『展成余弦级数』等价于作偶延拓，这一步就定死了只保留余弦项。半周期 $l=2$，代入余弦系数公式；$a_0$ 因 $x-1$ 在 $[0,2]$ 上积分为零而消失，$a_n$ 分部积分后出现 $(-1{)}^n-1$，自动筛掉偶数项、只剩奇次余弦，得到最终级数。

分析：要展成余弦级数，需将 $f(x)$ 作偶延拓到 $[-2,2]$，再以 $4$ 为周期延拓，此时 $b_n=0$，只需求 $a_0,a_n$。半周期 $l=2$。

$$a_0=\frac{2}{2}{\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^2(x-1)dx=0.$$

$$a_n=\frac{2}{2}{\int }_0^2(x-1)\cos \frac{n\pi x}{2}dx=\frac{2}{n\pi }(x-1)\sin \frac{n\pi x}{2}{|}_0^2-\frac{2}{n\pi }{\int }_0^2\sin \frac{n\pi x}{2}dx=\frac{4}{n^2{\pi }^2}\cos \frac{n\pi x}{2}{|}_0^2=\frac{4}{n^2{\pi }^2}[(-1{)}^n-1].$$

即 $a_n=\{\begin{array}{ll}-\frac{8}{n^2{\pi }^2},& n=1,3,5,\cdots ,\\ 0,& n=2,4,6,\cdots .\end{array}$

所以
$$x-1=-\frac{8}{{\pi }^2}\left(\frac{1}{1^2}\cos \frac{\pi x}{2}+\frac{1}{3^2}\cos \frac{3\pi x}{2}+\frac{1}{5^2}\cos \frac{5\pi x}{2}+\cdots \right),0\le x\le 2.$$