1995 年考研数学（一） 第 13 题

第一类曲面积分的标准动作是投影降维：$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$。锥面的妙处在于这个根号恰化成常数 $\sqrt{2}$，积分立刻变成投影圆盘上的二重积分。区域 $x^2+y^2\le 2x$ 是过原点的圆，用极坐标写成 $r\le 2\cos \theta$ 最自然，余下就是 ${\cos }^3\theta$ 的定积分。

分析：第一类曲面积分，把 $dS$ 化为 $xOy$ 平面上的二重积分，投影区域为圆盘 $x^2+y^2\le 2x$，再用极坐标计算。

锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，有 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，故
$$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}}dxdy=\sqrt{2}dxdy.$$

于是
$${\iint }_{\Sigma }zdS={\iint }_{x^2+y^2\le 2x}\sqrt{x^2+y^2}\cdot \sqrt{2}dxdy.$$

用极坐标，区域 $x^2+y^2\le 2x$ 即 $r\le 2\cos \theta$，$\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$：
$$=\sqrt{2}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}d\theta {\int }_0^{2\cos \theta }r\cdot rdr=\sqrt{2}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{(2\cos \theta {)}^3}{3}d\theta =\frac{8\sqrt{2}}{3}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta .$$

由 ${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta =2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^3\theta d\theta =2\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，得
$${\iint }_{\Sigma }zdS=\frac{8\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{32}{9}\sqrt{2}.$$