1995 年考研数学（一） 第 12 题

别被二重积分外形吓到——内积分里 $f(x)$ 是常数，提出后问题退化为一元积分。设原函数 $F$ 把内层写成 $F(1)-F(x)=A-F(x)$，再看到 $f(x)dx=dF$，就能凑出 $\int FdF=\frac{1}{2}{F}^2$，代入端点值即得。抓住『引原函数 + 凑微分』是最直接的思路。

分析：内层对 $y$ 积分时 $f(x)$ 是常数，可提出；引入原函数 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ 即可求出。

令 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$，则 $F(0)=0$，$F(1)=A$，$F^{\prime }(x)=f(x)$。把 $f(x)$ 提出内层积分：
$${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x)f(y)dy={\int }_0^{1}f(x)\left[{\int }_x^{1}f(y)dy\right]dx={\int }_0^{1}f(x)[F(1)-F(x)]dx.$$

于是
$$=A{\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_0^{1}F(x)F^{\prime }(x)dx=A^2-{\int }_0^{1}F(x)dF(x)=A^2-\frac{1}{2}{F}^2(x){|}_0^1.$$

代入 $F(0)=0,F(1)=A$，得
$${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x)f(y)dy=A^2-\frac{1}{2}{A}^2=\frac{1}{2}{A}^2.$$