1995 年考研数学（一） 第 11 题

这类『多重依赖 + 一个隐含变量』的全导数题，套路是先按链式法则展开 $\frac{du}{dx}$，把未知的 $\frac{dz}{dx}$ 当作待求量；由于 $z$ 无显式表达，只能借约束方程 $\phi =0$ 对 $x$ 求导把它解出，条件 ${\phi }_3^{\prime }\ne 0$ 正是保证能解出的前提。

分析：$u$ 经 $x,y,z$ 依赖于 $x$，其中 $y=\sin x$，而 $z$ 由约束方程 $\phi (x^2,e^y,z)=0$ 隐式确定。用全导数链式法则，并对约束方程求导解出 $\frac{dz}{dx}$。

对 $u=f(x,y,z)$ 关于 $x$ 求全导数：
$$\frac{du}{dx}=f_1^{\prime }+f_2^{\prime }\frac{dy}{dx}+f_3^{\prime }\frac{dz}{dx}.$$

对约束 $\phi (x^2,e^y,z)=0$ 两边关于 $x$ 求导：
$$2x{\phi }_1^{\prime }+{\phi }_2^{\prime }{e}^y\frac{dy}{dx}+{\phi }_3^{\prime }\frac{dz}{dx}=0.$$

又 $y=\sin x$，$\frac{dy}{dx}=\cos x$，代入并利用 ${\phi }_3^{\prime }\ne 0$ 解出
$$\frac{dz}{dx}=-2x\frac{{\phi }_1^{\prime }}{{\phi }_3^{\prime }}-\frac{{\phi }_2^{\prime }}{{\phi }_3^{\prime }}{e}^{\sin x}\cos x.$$

于是
$$\frac{du}{dx}=f_1^{\prime }+f_2^{\prime }\cos x-f_3^{\prime }\left(2x\frac{{\phi }_1^{\prime }}{{\phi }_3^{\prime }}+\frac{{\phi }_2^{\prime }}{{\phi }_3^{\prime }}{e}^{\sin x}\cos x\right).$$