1993 年考研数学（一） 第 6 题

比较无穷小阶数就是算 $\lim f/g$。$g$ 显然是三阶。$f(x)={\int }_0^{\sin x}\sin t^{2}dt$ 积不出来，就用变限积分求导 + 洛必达（或逐层用 $\sin t^2\sim t^2$、$\sin x\sim x$）估出 $f\sim \frac{1}{3}{x}^3$。比值为非零常数但不等于 $1$，即「同阶但非等价」。

分析：先由变限积分求导求出 $f(x)$ 的等价无穷小，再与 $g(x)\sim x^3$ 比较。

由洛必达法则与变限积分求导 $f^{\prime }(x)=\sin ({\sin }^{2}x)\cdot \cos x$，于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x\cdot \sin ({\sin }^{2}x)}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{3x^2}=\frac{1}{3},$$
即 $f(x)\sim \frac{1}{3}{x}^3(x\to 0)$。

又 $g(x)=x^3+x^4\sim x^3(x\to 0)$。因为 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{3}\ne 1$ 且为非零常数，故 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶但非等价的无穷小，应选 B。