1993 年考研数学（一） 第 5 题

齐次方程通解 = 基础解系的线性组合，要回答两件事：解空间维数与一个具体解。维数由 $n-r(A)=1$ 立刻定下；「各行元素之和为零」是一句伪装的提示——它正说明 $A(1,1,\cdots ,1{)}^T=0$，于是全 $1$ 向量就是现成的基础解系。把文字条件翻译成矩阵-向量等式是破题点。

分析：由秩确定基础解系所含向量个数，再由“各行元素之和为零”找出一个具体解向量。

因为 $r(A)=n-1$，所以 $AX=0$ 的基础解系含 $n-r(A)=1$ 个线性无关的解向量。

又因为 $A$ 的各行元素之和均为零，即 $A(1,1,\cdots ,1{)}^T=0$，故 $(1,1,\cdots ,1{)}^T$ 是一个非零解，可取作基础解系。于是通解为 $X=k(1,1,\cdots ,1{)}^T$（$k$ 为任意常数）。