1993 年考研数学（一） 第 4 题

$\mathrm{div}(\mathbf{grad}u)$ 就是拉普拉斯算子 $\Delta u$，按「先梯度再散度」两步做。看到 $\ln \sqrt{}$ 先化成 $\frac{1}{2}\ln (\cdot )$ 是降低求导难度的关键一步；引入记号 ${\rho }^2$ 把反复出现的 $x^2+y^2+z^2$ 打包，三个方向的对称结构就一目了然、自然合并。

分析：先求梯度 $\mathbf{grad}u$，再求其散度。$u=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2+z^2)$。

$$\mathbf{grad}u=\left\{\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right\}=\left\{\frac{x}{x^2+y^2+z^2},\frac{y}{x^2+y^2+z^2},\frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right\}.$$

记 ${\rho }^2=x^2+y^2+z^2$，则
$$\mathrm{div}(\mathbf{grad}u)=\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{{\rho }^2}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{{\rho }^2}+\frac{\partial }{\partial z}\frac{z}{{\rho }^2}=\frac{y^2+z^2-x^2}{{\rho }^4}+\frac{x^2+z^2-y^2}{{\rho }^4}+\frac{x^2+y^2-z^2}{{\rho }^4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{{\rho }^4}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}.$$