1993 年考研数学（一） 第 3 题

求单个系数不必展开整条级数，代公式即可。省力关键在奇偶性：区间 $[-\pi ,\pi ]$ 对称，$x^2\sin 3x$ 是奇函数积分为零，只剩 $\pi x\sin 3x$（偶）要算。先用奇偶性砍掉一半积分，是这类傅里叶系数题的核心技巧。

分析：由傅里叶系数公式 $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$，注意奇偶性化简。

$b_3=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(\pi x+x^2)\sin 3xdx$。其中 $x^2\sin 3x$ 为奇函数，积分为零；$\pi x\sin 3x$ 为偶函数，于是
$$b_3=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\pi x\sin 3xdx=2{\int }_0^{\pi }x\sin 3xdx.$$

$$2{\int }_0^{\pi }x\sin 3xdx=-\frac{2}{3}{\int }_0^{\pi }xd(\cos 3x)=-\frac{2}{3}{\left[x\cos 3x\right]}_0^{\pi }+\frac{2}{3}{\int }_0^{\pi }\cos 3xdx=-\frac{2}{3}\cdot \pi \cos 3\pi +0=\frac{2\pi }{3}.$$
故 $b_3=\frac{2\pi }{3}$。