1993 年考研数学（一） 第 2 题

两步走：先得曲面方程，再求法向量。绕 $y$ 轴旋转的规律是保留 $y$、把 $x^2$（到轴距离的平方）换成 $x^2+z^2$。曲面写成 $F(x,y,z)=0$ 后，法向量天然由梯度 $\nabla F$ 给出；「外侧」只决定正负号，把梯度在该点单位化即可。

分析：先写出旋转曲面方程，再取其梯度作为法向量并单位化。

曲线绕 $y$ 轴旋转时把 $x^2$ 换成 $x^2+z^2$，故旋转曲面为
$$\Sigma :3x^2+2y^2+3z^2=12.$$
令 $F(x,y,z)=3x^2+2y^2+3z^2-12$，则法向量 $\mathbf{n}=\{F_x,F_y,F_z\}=\{6x,4y,6z\}$。

在点 $(0,\sqrt{3},\sqrt{2})$ 处 $\mathbf{n}=\{0,4\sqrt{3},6\sqrt{2}\}$，其模 $|\mathbf{n}|=\sqrt{0+48+72}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}$，方向指向外侧。故所求单位法向量
$${\mathbf{n}}^0=\left\{0,\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{30}},\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{30}}\right\}=\left\{0,\frac{\sqrt{10}}{5},\frac{\sqrt{15}}{5}\right\}.$$