1993 年考研数学（一） 第 1 题

看到「变限积分 + 单调区间」，不必先把积分算出来，直接用微积分基本定理对上限求导得 $F^{\prime }(x)=2-\frac{1}{\sqrt{x}}$。求单调减区间就是解 $F^{\prime }(x)<0$，于是问题归结为比较 $2$ 与 $\frac{1}{\sqrt{x}}$，并始终守住 $x>0$ 这个定义域。

分析：由变限积分求导得到 $F^{\prime }(x)$，再由 $F^{\prime }(x)<0$ 确定单调减区间。

由微积分基本定理，$F^{\prime }(x)=2-\frac{1}{\sqrt{x}}(x>0)$。令 $F^{\prime }(x)=0$，得 $\sqrt{x}=\frac{1}{2}$，即 $x=\frac{1}{4}$。

当 $0<x<\frac{1}{4}$ 时，$\sqrt{x}<\frac{1}{2}$，故 $\frac{1}{\sqrt{x}}>2$，$F^{\prime }(x)<0$；当 $x>\frac{1}{4}$ 时 $F^{\prime }(x)>0$。所以 $F(x)$ 的单调减区间为 $\left(0,\frac{1}{4}\right)$。