1993 年考研数学（一） 第 7 题

出现 $(x^2+y^2)$ 是极坐标的强烈信号，代换后方程 $r^2=\cos 2\theta$ 极简。面积用 $S=\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$ 时 $r^2$ 恰是 $\cos 2\theta$，不必开方；再靠对称性把一瓣积分乘以适当倍数得全体。选项里「是否开根号」正是干扰项，要盯住 $r^2$ 而非 $r$。

分析：化为极坐标方程，用极坐标下的面积公式 $S=\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta$。

令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，代入得双纽线的极坐标方程 $r^2=\cos 2\theta$。该曲线关于两坐标轴对称，第一象限对应 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$。

由对称性，所围面积
$$A=4\times \frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{r}^{2}d\theta =2{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos 2\theta d\theta ,$$
应选 A。