1993 年考研数学（一） 第 8 题

求线线夹角先要各自的方向向量。$L_1$ 是对称式，方向向量直接读出；$L_2$ 是两平面交线，其方向必同时垂直于两法向量，故取两法向量的叉乘。夹角公式取绝对值，是因为线线夹角规定为不超过 $\frac{\pi }{2}$ 的那个。

分析：分别求两直线的方向向量，$L_2$ 的方向向量由两平面法向量的向量积给出，再用夹角公式。

$L_1$ 的方向向量 ${\mathbf{s}}_1=\{1,-2,1\}$。$L_2$ 是两平面 $x-y=6$ 与 $2y+z=3$ 的交线，其方向向量
$${\mathbf{s}}_2=\{1,-1,0\}\times \{0,2,1\}=\{-1,-1,2\}.$$

设夹角为 $\theta$，则
$$\cos \theta =\frac{|{\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2|}{|{\mathbf{s}}_1||{\mathbf{s}}_2|}=\frac{|-1+2+2|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},$$
故 $\theta =\frac{\pi }{3}$，应选 C。