1993 年考研数学（一） 第 9 题

「与路径无关」是把几何条件转成方程的开关——它等价于 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$。代入后 $\cos y$ 是公因子可约掉，剩下纯 $x$ 的关系 $f^{\prime }(x)+f(x)=e^x$，正好是一阶线性 ODE。于是问题从积分转化为解 ODE 再用初值定常数。

分析：曲线积分与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，由此得到关于 $f(x)$ 的一阶线性微分方程。

记 $P(x,y)=[f(x)-e^x]\sin y,Q(x,y)=-f(x)\cos y$。由 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 得 $-f^{\prime }(x)\cos y=[f(x)-e^x]\cos y$，即
$$f^{\prime }(x)+f(x)=e^x.$$

解此一阶线性方程：
$$f(x)=e^{-x}\left[\int e^x\cdot e^{x}dx+C\right]=\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}+C\right)e^{-x}=\frac{1}{2}{e}^x+C{e}^{-x}.$$
再由 $f(0)=0$ 得 $C=-\frac{1}{2}$，故 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$，应选 B。