1993 年考研数学（一） 第 10 题

关键量是 $r(Q)$。$Q$ 第二列恒为第一列的 $2$ 倍，秩至多 $2$；是否恰为 $2$ 取决于 $t\ne 6$ 时第三列与第一列是否无关。由 $PQ=O$ 用「乘积为零则秩之和 $\le$ 列数」得 $r(P)\le 3-r(Q)$，再配合 $P$ 非零的 $r(P)\ge 1$，把秩夹死，逐一排除选项。

分析：由 $PQ=O$ 利用秩不等式 $r(P)+r(Q)\le 3$，再确定 $r(Q)$。

$Q$ 的第二列恒为第一列的 $2$ 倍。当 $t\ne 6$ 时，第三列 $(3,t,9{)}^T$ 与第一列 $(1,2,3{)}^T$ 线性无关，故 $r(Q)=2$。

由 $PQ=O$ 得 $r(P)+r(Q)\le 3$。当 $t\ne 6$ 时 $r(Q)=2$，则 $r(P)\le 1$；又 $P$ 为非零矩阵，$r(P)\ge 1$，故 $r(P)=1$，应选 C。