1993 年考研数学（一） 第 11 题

一看到「$(\to 1{)}^{(\to \infty )}$」就该条件反射地归为 $1^{\infty }$ 型，套公式 $\lim =e^{\lim x(\text{底}-1)}$。换元 $t=\frac{1}{x}$ 把 $x\to \infty$ 变成 $t\to 0$，便于用常见等价无穷小。$\cos \frac{1}{x}-1$ 是 $t^2$ 量级、相对 $\sin \frac{2}{x}\sim 2t$ 可忽略，主项由正弦贡献，极限指数为 $2$。

分析：当 $x\to \infty$ 时底数 $\to 1$、指数 $\to \infty$，是 $1^{\infty }$ 型，用 $\lim =e^{\lim x(\text{底}-1)}$。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)}^x=\exp \left[\underset{x\to \infty }{\lim }x\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}-1\right)\right].$$

令 $t=\frac{1}{x}\to 0$，则
$$\underset{x\to \infty }{\lim }x\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}-1\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin 2t+\cos t-1}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{2t+o(t)}{t}=2,$$
其中用到 $\sin 2t\sim 2t$、$\cos t-1\sim -\frac{t^2}{2}$。故原极限 $=e^2$。