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1993 年考研数学（一）第 12 题

解答题 · 5 分

求

\int \frac{x e ^{x}}{e ^{x} - 1} d x

.

提示 1

提示①：被积函数同时含

x

与

e^{x}

，提示用分部积分把

x

求导降掉。

提示 2

提示②：注意

e^{x} d x = d (e^{x} - 1)

，先把

\frac{e ^{x}}{e ^{x} - 1}

凑成

d (2 e^{x} - 1)

。

提示 3

提示③：分部后剩下的

\int e^{x} - 1 d x

令

e^{x} - 1 = t

换元化为有理函数积分。

答案与详解

答案 $(2 x - 4) e^{x} - 1 + 4 arctan e^{x} - 1 + C$

思路（为什么这么做）

被积函数里既有

x

又有

e^{x}

，是分部积分的信号（让

x

求导变

1

）。为此先把

\frac{e ^{x}}{e ^{x} - 1}

凑成

d (2 e^{x} - 1)

，分部后

x

消成常数，剩下

\int e^{x} - 1 d x

用

e^{x} - 1 = t

换元化成

\int (1 - \frac{1}{1 + t ^{2}}) d t

。凑微分、分部、换元三连是套路。

解答

分析：先凑微分做分部积分，再对

\int e^{x} - 1 d x

作换元。

注意

e^{x} d x = d (e^{x} - 1)

，故

\int \frac{x e ^{x}}{e ^{x} - 1} d x = \int \frac{x d ( e ^{x} - 1 )}{e ^{x} - 1} = 2 \int x d (e^{x} - 1) = 2 x e^{x} - 1 - 2 \int e^{x} - 1 d x .

令

e^{x} - 1 = t

，即

x = ln (1 + t^{2})

，

d x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} d t

，则

\int e^{x} - 1 d x = \int t \cdot \frac{2 t}{1 + t ^{2}} d t = 2 \int (1 - \frac{1}{1 + t ^{2}}) d t = 2 t - 2 arctan t + C = 2 e^{x} - 1 - 2 arctan e^{x} - 1 + C .

代回得

\int \frac{x e ^{x}}{e ^{x} - 1} d x = (2 x - 4) e^{x} - 1 + 4 arctan e^{x} - 1 + C .

考点：换元积分法与分部积分法、有理函数及三角有理式积分

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