1993 年考研数学（一） 第 13 题

方程右端出现 $y^2$ 而非一次，破坏了线性——这是伯努利方程的标志。标准对策是令 $u=y^{1-n}$（此处 $u=\frac{1}{y}$）把非线性方程线性化。之后按一阶线性方程的通解公式求解，最后代初值 $y(1)=1$。识别「$y^n$ 项」是选择换元的依据。

分析：这是 $n=2$ 的伯努利方程，作代换 $u=y^{-1}$ 化为一阶线性方程。

将方程 $x^2{y}^{\prime }+xy=y^2$ 化为 $y^{\prime }+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x^2}{y}^2$。令 $u=y^{-1}$，则 $u^{\prime }=-y^{-2}{y}^{\prime }$，方程化为
$$\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}u=-\frac{1}{x^2}.$$

解此一阶线性方程：
$$u=\left[\int \left(-\frac{1}{x^2}\right)e^{\int -\frac{1}{x}dx}dx+C\right]e^{-\int -\frac{1}{x}dx}=\left(\frac{1}{2x^2}+C\right)x,$$
即 $\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{2x^2}+C\right)x$。

由 $y(1)=1$ 得 $1=\frac{1}{2}+C$，即 $C=\frac{1}{2}$。故 $\frac{1}{y}=\frac{1}{2x}+\frac{x}{2}=\frac{1+x^2}{2x}$，所求特解为 $y=\frac{2x}{1+x^2}$。