1993 年考研数学（一） 第 14 题

封闭曲面 + 第二类曲面积分 = 高斯公式的典型信号，可把繁琐面积分转成三重积分。这里散度化简为 $z$（很简洁），印证选高斯是对的。区域由圆锥与球面相交（交于 $x^2+y^2=1,z=1$），用柱坐标先对 $z$ 积、再极坐标最顺。

分析：$\Sigma$ 为封闭曲面外侧，用高斯公式化为三重积分。

记 $P=2xz,Q=yz,R=-z^2$，则 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=2z+z-2z=z$。由 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 得两曲面交线为 $x^2+y^2=1,z=1$，所围立体
$$\Omega =\left\{(x,y,z)|x^2+y^2\le 1,\sqrt{x^2+y^2}\le z\le \sqrt{2-x^2-y^2}\right\}.$$

由高斯公式
$${\iint }_{\Sigma }2xzdydz+yzdzdx-z^{2}dxdy={\iiint }_{\Omega }zdv={\iint }_{x^2+y^2\le 1}dxdy{\int }_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}zdz.$$

内层积分 ${\int }_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}zdz=\frac{1}{2}[(2-x^2-y^2)-(x^2+y^2)]=1-x^2-y^2$，于是
$${\iint }_{x^2+y^2\le 1}(1-x^2-y^2)dxdy={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1(r-r^3)dr=2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{2}.$$