1993 年考研数学（一） 第 15 题

数项级数带 $n$ 的多项式系数与等比因子 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$，标准套路是「母函数化」——把常数级数看成某幂级数在特定点的值。系数 $n^2-n+1$ 拆成 $n(n-1)+1$ 是为对齐 $\frac{1}{1-x}$ 的二阶导（生成 $n(n-1)$）与它本身（生成 $1$）。求出闭形式和函数后代 $x=-\frac{1}{2}$。

分析：构造幂级数 $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(n^2-n+1)x^n$，求出和函数后代入 $x=-\frac{1}{2}$。

由 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 知幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }(n^2-n+1)x^n$ 的收敛半径 $R=1$；当 $x=\pm 1$ 时通项不趋于零，级数发散，故收敛域为 $(-1,1)$。

利用 $n^2-n+1=n(n-1)+1$，
$$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(n^2-n+1)x^n=x^2\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)x^{n-2}+\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=x^2{\left(\frac{1}{1-x}\right)}^{\prime \prime }+\frac{1}{1-x}=\frac{2x^2}{(1-x{)}^3}+\frac{1}{1-x}=\frac{1-2x+3x^2}{(1-x{)}^3}.$$

故所求级数之和
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n(n^2-n+1)}{2^n}=S\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1+1+\frac{3}{4}}{{\left(\frac{3}{2}\right)}^3}=\frac{\frac{11}{4}}{\frac{27}{8}}=\frac{22}{27}.$$