1993 年考研数学（一） 第 16 题

「有且仅有一个零点」是存在性 + 唯一性的组合命题，思路分两路。存在性靠介值定理，但需先说明 $f$ 变正——用拉格朗日中值定理从 $f^{\prime }(x)\ge k$ 推出 $f(x)\ge f(0)+kx\to +\infty$，配合 $f(0)<0$。唯一性直接由 $f^{\prime }>0\Rightarrow$ 严格单调 $\Rightarrow$ 至多一个零点。

分析：由拉格朗日中值定理估计 $f$ 在无穷远处的值以说明零点存在，再由单调性说明零点唯一。

（存在性） 对任意 $x>0$，由拉格朗日中值定理，$f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )x(0<\xi <x)$。由 $f^{\prime }(x)\ge k>0$ 得 $f(x)\ge f(0)+kx$，于是 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$。又 $f(0)<0$，且 $f$ 连续，由介值定理知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内至少有一个零点。

（唯一性） 因为 $f^{\prime }(x)\ge k>0$，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上严格单调递增，故零点是唯一的。综上，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内有且仅有一个零点。