1993 年考研数学（一） 第 17 题

比较两个幂的大小，取对数把指数拉下来是第一反应，目标化成 $b\ln a-a\ln b>0$。再把上界 $b$ 看成变量、构造 $f(x)=x\ln a-a\ln x$，问题转成「证 $f$ 在 $x>a$ 时为正」。起点 $f(a)=0$ 已知，只需证单调增；条件 $a>e$ 恰保证 $\ln a>1$ 使 $f^{\prime }(x)>0$，逻辑闭合。

分析：$a^b>b^a$ 两边取对数等价于 $b\ln a-a\ln b>0$，构造函数用单调性证明。

$a^b>b^a$ 等价于 $b\ln a>a\ln b$，即 $b\ln a-a\ln b>0$。令 $f(x)=x\ln a-a\ln x(x\ge a)$，则 $f(a)=a\ln a-a\ln a=0$。

$f^{\prime }(x)=\ln a-\frac{a}{x}$。当 $x>a>e$ 时，$\ln a>1$ 且 $\frac{a}{x}<1$，故 $f^{\prime }(x)>0$，即 $f(x)$ 在 $(a,+\infty )$ 上严格递增。

于是由 $f(a)=0$ 及 $f^{\prime }(x)>0(x>a)$ 知当 $x>a$ 时 $f(x)>0$。因 $b>a$，故 $f(b)=b\ln a-a\ln b>0$，即 $a^b>b^a$。