1993 年考研数学（一） 第 18 题

正交变换化标准形的原理是实对称矩阵可正交对角化，标准形系数 = 特征值。所以先写出 $A$，用已知特征值 $\{1,2,5\}$ 与 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3$（或迹）建方程解 $a$ 最快。定 $a$ 后，各特征值的单位特征向量按列组成 $Q$；对称矩阵不同特征值的特征向量自动正交，通常只需单位化。

分析：二次型矩阵的特征值就是标准形的系数，由此定出 $a$，再求各特征值对应的规范正交特征向量组成正交矩阵。

二次型矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& a\\ 0& a& 3\end{array}\right)$，$f=X^{T}AX$。由标准形知 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=5$。由 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=10$ 即 $2(9-a^2)=10$，得 $9-a^2=5$，解得 $a=2$（$a>0$）。于是 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 2\\ 0& 2& 3\end{array}\right)$。

由 $E-A\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 得 ${\lambda }_1=1$ 对应特征向量 ${\alpha }_1=(0,-1,1{)}^T$；由 $2E-A$ 得 ${\lambda }_2=2$ 对应特征向量 ${\alpha }_2=(1,0,0{)}^T$；由 $5E-A$ 得 ${\lambda }_3=5$ 对应特征向量 ${\alpha }_3=(0,1,1{)}^T$。三者两两正交。

规范化得 ${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,-1,1{)}^T,{\gamma }_2=(1,0,0{)}^T,{\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1{)}^T$。故所用正交变换矩阵为
$$Q=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right),$$
在正交变换 $X=QY$ 下 $f=y_1^2+2y_2^2+5y_3^2$。