1993 年考研数学（一） 第 19 题

把「线性无关」翻译成秩的语言是关键：$n$ 个列向量无关 $⟺r(B)=n$。$AB=E$ 提供 $r(AB)=n$，经 $r(AB)\le r(B)$ 把秩顶到至少 $n$；而列数只有 $n$ 限制 $r(B)\le n$，一夹即得等号。全程用秩不等式，无需具体解方程。

分析：由 $AB=E$ 得 $r(AB)=n$，结合秩不等式与“秩不超过行列数”夹出 $r(B)=n$，再用秩等于列向量组的秩得结论。

因为 $AB=E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，所以 $r(AB)=n$。由 $r(AB)\le r(A)$ 及 $r(AB)\le r(B)$ 得 $r(A)\ge n,r(B)\ge n$。

又矩阵的秩不超过其行数与列数，$B$ 是 $m\times n$ 矩阵，故 $r(B)\le n$，于是 $r(B)=n$。

因为矩阵的秩等于其列向量组的秩，所以 $B$ 的列向量组的秩为 $n$，等于列向量的个数，故 $B$ 的列向量组线性无关。